Sobre las superficies minimales

Abstract

Este trabajo estudia las superficies minimales, que son las que minimizan localmente el área bajo ciertas restricciones. Se abordan sus fundamentos teóricos y de aplicación, integrando resultados clásicos y avances recientes. Se inicia con la teoría local de las superficies minimales no paramétricas, presentando su ecuación diferencial y algunos ejemplos representativos. Luego, se analiza el problema de minimizar el área y el uso de parámetros isotérmicos en su caracterización. Posteriormente, se profundiza sobre el Teorema de Bernstein, esencial para el estudio de las soluciones de la ecuación de superficies minimales no paramétricas en el espacio euclidiano n-dimensional. Además, se desarrolla la teoría global de superficies paramétricas, incluyendo la representación de Enneper-Weierstrass y la aplicación de Gauss. Finalmente, se realiza un análisis detallado de dos caracterizaciones fundamentales de las superficies minimales en el espacio tridimensional: las superficies de rotación y las superficies regladas. Para que el trabajo sea auto contenido se incluyen apéndices que proporcionan la teoría necesaria para abordar el contenido principal y detalles técnicos de las figuras presentadas en el trabajo.